求数列极限是大学数学的必修课，只要学高数，你就必须学它。今天，我们就来学习一个求数列极限的简单方法——平均值定理，通过它我们可以投机取巧。

什么是平均值定理？

平均值定理

证明平均值定理

因为数列{aₙ}的极限存在，所以

根据数列极限的定义我们有

对于任意一个大于零的数ε，总是存在一个正整数N，使得

|aₙ-a|<ε

对于数列{（a₁+a₂+…+aₙ）/n}当n趋近于无穷大时，如果极限存在且就是a，根据数列极限的定义我们同样可以得到

|[（a₁+a₂+…+aₙ）/n]-a |<ε

也就是说我们只要证明当n趋近于无穷大时 |[（a₁+a₂+…+aₙ）/n]-a |<ε成立即可。

假设当n趋近于无穷大时，

|[（a₁+a₂+…+aₙ）/n]-a |<ε成立

于是，当n趋近于无穷大时

|[（a₁+a₂+…+aₙ）/n]-a |

=|(a₁+a₂+…aₙ)/n-na/n|

=|[（a₁+a₂+…+aₙ）-na]/n|

=|[(a₁-a)+(a₂-a)+…+(aₙ-a)]/n|

=|[(a₁-a)+(a₂-a)+…+(a₍ɴ ₎-a)]/n

+[(a₍ ɴ+1₎-a)+(a₍ ɴ+2₎-a)+…(aₙ-a)]/n|

无论N的值是多少，N总是一个准确的数

所以，当n趋近于无穷大时

[(a₁-a)+(a₂-a)+…+(a₍ɴ ₎-a)]/n的极限为0

又因为对于任意一个大于零的数ε，总是存在一个正整数N，使得|aₙ-a|<ε

所以，|[（a₁+a₂+…+aₙ）/n]-a |

=|[(a₍ ɴ+1₎-a)+(a₍ ɴ+2₎-a)+…(aₙ-a)]/n|

≤(ε+ε+…+ε)/n

=nε/ε=ε

所以，（a₁+a₂+…+aₙ）/n的极限为a。

平均值定理的应用