求数列极限的方法——平均值定理

100次浏览     发布时间:2024-08-23 11:00:01    

求数列极限是大学数学的必修课,只要学高数,你就必须学它。今天,我们就来学习一个求数列极限的简单方法——平均值定理,通过它我们可以投机取巧。

什么是平均值定理?

平均值定理

证明平均值定理

因为数列{aₙ}的极限存在,所以

根据数列极限的定义我们有

对于任意一个大于零的数ε,总是存在一个正整数N,使得

|aₙ-a|<ε

对于数列{(a₁+a₂+…+aₙ)/n}当n趋近于无穷大时,如果极限存在且就是a,根据数列极限的定义我们同样可以得到

|[(a₁+a₂+…+aₙ)/n]-a |<ε

也就是说我们只要证明当n趋近于无穷大时 |[(a₁+a₂+…+aₙ)/n]-a |<ε成立即可

假设当n趋近于无穷大时,

|[(a₁+a₂+…+aₙ)/n]-a |<ε成立

于是,当n趋近于无穷大时

|[(a₁+a₂+…+aₙ)/n]-a |

=|(a₁+a₂+…aₙ)/n-na/n|

=|[(a₁+a₂+…+aₙ)-na]/n|

=|[(a₁-a)+(a₂-a)+…+(aₙ-a)]/n|

=|[(a₁-a)+(a₂-a)+…+(a₍ɴ ₎-a)]/n

+[(a₍ ɴ+1₎-a)+(a₍ ɴ+2₎-a)+…(aₙ-a)]/n|

无论N的值是多少,N总是一个准确的数

所以,当n趋近于无穷大时

[(a₁-a)+(a₂-a)+…+(a₍ɴ ₎-a)]/n的极限为0

又因为对于任意一个大于零的数ε,总是存在一个正整数N,使得|aₙ-a|<ε

所以,|[(a₁+a₂+…+aₙ)/n]-a |

=|[(a₍ ɴ+1₎-a)+(a₍ ɴ+2₎-a)+…(aₙ-a)]/n|

≤(ε+ε+…+ε)/n

=nε/ε=ε

所以,(a₁+a₂+…+aₙ)/n的极限为a。

平均值定理的应用


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